数学万象 MathScape

$莱洛三角形转针的实际仿真画面$ SCENE 31

Reuleaux Triangle

莱洛三角形转针

在三段圆弧围成的等宽区域里，让一根针连续转过整周。

$三尖内摆线转针的实际仿真画面$ SCENE 32

Deltoid Needle

三尖内摆线转针

沿三尖内摆线移动针的两端，观察更小区域里的连续转动。

$Bloom–Schoenberg 多尖星形集的实际仿真画面$ SCENE 33

Bloom–Schoenberg Star

Bloom–Schoenberg 多尖星形集

改变奇数尖数，探索海胆般星形构造中的切线转针与面积。

Tᵥ = {xᵥ + tv : −1/2 ≤ t ≤ 1/2}，v ∈ S²SCENE 35

3D Tube Bundle

三维针束：每个方向都要有

把“针”加厚为半透明细管，旋转观察三维空间中不同方向的单位线段。

m(x) = Σᵥ 1_{Tᵥ}(x)SCENE 36

Multiplicity Ledger

重叠账本：管束有多挤

用可移动剖面扫描细管束，读出局部重叠、覆盖比例与拥挤位置。

δ₁ = δ₀ / ρ，δ₂ = δ₁ / ρSCENE 37

Multi-scale Magnifier

放大镜链：跨尺度检查

锁定一个拥挤小格，连续放大三层尺度，观察局部结构怎样被重新审视。

黏连：相近方向在粗尺度内共同传播SCENE 38

Sticky or Spreading Tubes

两难局：黏连还是分离

并排比较“长期黏连”与“方向分离”的管束，理解两类局面为何都不能任意压缩空间。

方向覆盖 + 重数/密度 + 跨尺度一致性 → 体积估计SCENE 39

Proof Strategy Map

证明路线图：为何不能无限压缩

选择一种“省空间”设想，沿方向覆盖、重叠、尺度与结构约束逐步检查它。

$正多面体旋转群的实际仿真画面$ SCENE 01

Polyhedral Symmetry Group

正多面体旋转群

转动一颗正多面体，看顶点重新落回原位：从空间旋转走进 A₄、S₄ 与 A₅。

$Cayley 图宇宙的实际仿真画面$ SCENE 02

Cayley Graph Universe

Cayley 图宇宙

让抽象群元素变成节点，让生成元变成道路。沿一串操作在群中行走。

$壁纸群实验室的实际仿真画面$ SCENE 03

Wallpaper Groups

壁纸群实验室

画下一笔，让平移、旋转、反射和滑移反射编织出十七种平面对称。

$反射万花筒的实际仿真画面$ SCENE 04

Reflection / Coxeter Kaleidoscope

反射万花筒

三面镜子，一片基本区域。重复反射让局部规则成为完整空间。

$置换可视化的实际仿真画面$ SCENE 05

Permutation Visualizer

置换可视化

追踪每个元素去向，把循环记号、映射图、矩阵和粒子运动连接起来。

$魔方群的实际仿真画面$ SCENE 06

Rubik Group

魔方群

转动真实的 3×3×3 魔方，用操作序列看见非交换与交换子。

$Mandelbrot 宇宙的实际仿真画面$ SCENE 07

Mandelbrot Universe

Mandelbrot 宇宙

在参数平面中缩放、平移，点击一个 c 追踪迭代轨道。

$Julia 集联动的实际仿真画面$ SCENE 08

Julia Set

Julia 集联动

左侧改变 Mandelbrot 参数，右侧实时观察对应的 Julia 集。

$Newton 分形的实际仿真画面$ SCENE 09

Newton Fractal

Newton 分形

用颜色区分吸引盆，用明暗观察收敛速度，检验迭代为何依赖初值。

$复函数变换的实际仿真画面$ SCENE 10

Complex Function Transformation

复函数变换

让直角网格连续变形，对照原平面与函数映射后的曲线。

进入实验 ↗复分析

$黎曼球面的实际仿真画面$ SCENE 11

Riemann Sphere

黎曼球面

拖动复平面点，观察北极投影射线和球面对应点。

进入实验 ↗复分析

$复函数域着色的实际仿真画面$ SCENE 12

Domain Coloring

复函数域着色

将相位译为颜色，把零点、极点和特殊函数结构呈现在复平面上。

进入实验 ↗复分析

$L-System 植物的实际仿真画面$ SCENE 13

L-System Plant

L-System 植物

重写字符串，观察一条枝段逐层生长为树形结构。

$Sierpiński 世界的实际仿真画面$ SCENE 14

Sierpiński Worlds

Sierpiński 世界

在三角形、地毯与四面体之间切换，探索递归挖空。

$Menger 海绵的实际仿真画面$ SCENE 15

Menger Sponge

Menger 海绵

穿行于层层相套的立方孔洞，观察体积怎样递减。

$混沌游戏的实际仿真画面$ SCENE 16

Chaos Game

混沌游戏

让随机点逐渐汇成结构：规则与随机性共同创造图案。

$莫比乌斯带的实际仿真画面$ SCENE 17

Möbius Strip

莫比乌斯带

沿扭转纸带追踪粒子，两圈之后回到同一侧。

$Klein 瓶的实际仿真画面$ SCENE 18

Klein Bottle

Klein 瓶

透视、网格与剖切，探索非定向曲面的三维表示。

$环面的基本群的实际仿真画面$ SCENE 19

Torus Fundamental Group

环面的基本群

沿环面两个方向绕行，用整数对记录闭路。

$结与链环的实际仿真画面$ SCENE 20

Knot Theory

结与链环

对比三叶结、八字结、环面结和多分支链环。

$极小曲面画廊的实际仿真画面$ SCENE 21

Minimal Surface Gallery

极小曲面画廊

观察悬链面、螺旋面和周期曲面的参数或隐式表示。

$曲率世界的实际仿真画面$ SCENE 22

Curvature Worlds

曲率世界

拖动三角形顶点，比较球面、平面、双曲空间的角度和。

$洛伦茨吸引子的实际仿真画面$ SCENE 23

Lorenz Attractor

洛伦茨吸引子

追踪相差百万分之一的初始条件，看三维轨迹在蝴蝶形吸引子中分离。

进入实验 ↗混沌与动力学

$双摆与混沌的实际仿真画面$ SCENE 24

Double Pendulum

双摆与混沌

从单摆到双摆，再用微小扰动比较两套理想摆的长期运动。

进入实验 ↗混沌与动力学

$Logistic 映射的实际仿真画面$ SCENE 25

Logistic Map

Logistic 映射

用时间序列、蛛网与分岔图观察稳定、倍周期和混沌。

进入实验 ↗混沌与动力学

$生命游戏的实际仿真画面$ SCENE 26

Cellular Automata

生命游戏

编辑细胞，让简单的出生与存活规则演化为滑翔机和周期结构。

$素数宇宙的实际仿真画面$ SCENE 27

Prime Universe

素数宇宙

将整数按 Ulam 螺旋排布，在有限样本中发现素数的视觉结构。

$模乘法之花的实际仿真画面$ SCENE 28

Modular Multiplication

模乘法之花

圆周点间的乘法连线随乘数连续变化，生成心形与复杂包络。

$杨辉三角分形的实际仿真画面$ SCENE 29

Pascal Triangle Fractal

杨辉三角分形

精确整数递推与模余数着色，将组合数变成自相似三角图案。